תורת רמזי: מספרים, צבעים, וקומבינטוריקרה

קואורדינטות. אוניברסיטת בר-אילן, תשע"ז, סמסטר ב. בניין 505 חדר 2.

ספר הקורס

שיעורי הבית נתנים לאחר כל הרצאה, והם להגשה בהרצאה שאחריה. המטלות נבדקות בסבב על ידי התלמידים, שני בודקים מדי שבוע. בנוסף להערות, על הבודקים לתת לכל עבודה ציון מבין האפשרויות הבאות: A+ (יוצא דופן, ציון שלא יינתן ליותר משתיים עד שלש עבודות), A (מצויין), B (טוב מאד), C (בסדר). המטלות מוחזרות אל המרצה בשבוע שלאחר מסירתן, להערכת איכות הבדיקה, ומוחזרות לתלמידים בשבוע שלאחר מכן (כלומר בעיכוב של שבועיים).

מטלות הרצאה ראשונה. קרא את פרק 1 (קישור לעיל), וענה על שאלות 1.4, 3.4, 3.8.

בודקי מטלה 1: אבי אלון, עידן סולמי.

מטלות הרצאה שניה. קרא את סעיפים 1-3 בפרק 2. מומלץ לקרוא גם את שאר הסעיפים, למי שמעוניין. לא נעבור עליהם כנראה במהלך ההרצאה. ענה על שאלות 1.14, 2.2, 3.12.

מטלות הרצאה שלישית.

1. קרא את פרק 3, סעיף 1.
2. פתור את תרגיל 1.3, סעיפים ג+ד.
3. פתור את תרגיל 1.9.
4. קראו את סעיפים 2,3 (לאו דווקא מייד, אלא כהעשרה לקורס).
5. הוכח: פונקציות רציפות בין מרחבים טופולוגיים (האוסדורף) שמתלכדות על תת-קבוצה צפופה של המרחב, מתלכדות על כל המרחב. (בחרו הגדרת רציפות כרצונכם.)

בודקי מטלה 3: יונתן גדות, תומר גנור.

מטלות הרצאה רביעית.

1. סיימו את קריאת פרק 3, וקראו בפרק 4 את הנושא שלמדנו (עד סוף הוכחת משפט הינדמן).
2. פתור את התרגיל שנוסח בהרצאה: אם עלמסנן מקיים את התכונה שהזכרנו, אז הוא אידמפוטנט.
3. בפרק 4, פתור את תרגיל 1.4.

בודקי מטלה 4: אופק אמרן, אור יזהר.

מטלות הרצאה חמישית. בפרק 4, ענה על שאלות 1.9' 1.10.

בודקי מטלה 5: הראל אליאלי, דניאל מלך.

מטלות הרצאה שישית.

1. אופציה ראשונה: להוכיח או להפריך את האתגר שניתן בכתה.
2. אופציה שניה: בפרק 4, תרגיל 3.8 ותרגיל 4.2.

בודקי מטלה 6: בר, דולב.

מטלות הרצאה שביעית. קרא את פרק 5 תוך דגש על הבנת הוכחות הטענות שלא הספקנו בכתה. פתור את תרגילים 1.9, 2.2, 2.6, 2.8.

בודקי מטלה 7: אבי, עידן.

מטלות הרצאה שמינית. פתרו תרגילים 2.1, 2.4, 2.7 בפרק 6.
מי שמתאפשר לו להתקדם עם האתגר שניסחתי בהרצאה, זה יכול לפחות לשמש תחליף לתרגיל 8, ואולי יותר מכך, תלוי כמה תתקדמו בכיוון.

בודקי מטלה 8: רותם, יואב.

מטלות הרצאה תשיעית. קראו את פרק 7, עד משפט 2.6 לא כולל אותו. פתרו תרגילים 1.3, 1.5, 1.7, 2.5.

בודקי מטלה 9: יונתן, תומר.

מטלות הרצאה עשירית.

1. קראו בפרק 7, ממשפט 2.6 ועד סוף הפרק. פתרו שאלה 3.6.
2. קראו פרק 8, עד עמוד 66 לפני תחילת ההוכחה. פתרו שאלה 1.4 ושאלה 2.3.

בודקי מטלה 10: בועז.

עבודת סיום קורס

לאורך הספר פזורות הפניות למאמרים בתחום. אפשר לרפרף עליהם ולקבל השראה. אפשר גם להסתכל בספר של הינדמן ושטראוס (Algebra in the Stone-Cech Compactification), או סתם לחפש ברשת.

לפתרון הבעיות, אפשר לנסות לבד ואפשר גם להשתמש בכל מה שתצליחו למצוא בספרות או ברשת (זכרו לתת הפניות מתאימות).

סכם את נסיונותיך לפתור את הבעיה, אילו בעיות נוספות גילית תוך כדי ההתמודדות עם הבעיה, ואם לא השגת התקדמות (מה שסביר אם הבעיה קשה), תאר מה עצר את התקדמותך. אפשר להתחיל עם גרסאות קלות של הבעיה שלך, מקרים פרטיים ואפילו טריויאליים, ובהדרגה להתקדם למקרים פחות קלים. תעד את כל הגרסאות/מקרים שניסית, ואת פתרונותיהם. כתוב אילו תובנות עלו לך במהלך המחקר.

אפשר לדבר על העבודה עם חברים, אבל כל אחד צריך להגיש את עבודתו לבד. עבודה כתובה היטב יכולה להכנס בארבעה עמודים ואף פחות, אבל אם תרצו יותר, אין בעיה. בכל מקרה, אל תכתבו יותר מעשרה עמודים (ואם ממש רוצים, דברו אתי קודם).

משקל המטלה זהה בקירוב ל 2-3 מטלות רגילות (אלה שניתנו במהלך הקורס).

עיבדו קשה, אבל אל תשכחו גם להנות מזה!

We begin with some definitions. A family F of sets is partition regular if, for each A in F and each partition A=B U C, we have that B is in F or C is in F.

Let S₁(F) be the statement: For all A₁,A₂,... in F, there are elements a₁ in A₁, a₂ in A₂, ..., such that the set {a₁,a₂,...} is in F.

Prove: There are:

1. A partition regular family F such that S₁(F) holds;
2. A set A in F; and
3. A finite coloring of [A]²,

such that, for each subset B of A with B in F, the set [B]² is not monochromatic.

Remark: This is posed as Conjecture 1.19 in my paper Superfilters, Ramsey theory, and van der Waerden's Theorem (with N. Samet), available here. But we didn't think about this. This may be solvable. In that paper, there is a simpler reformulation (you just need to prove that F is not "weakly Ramsey"/"strongly Ramsey", as defined in Definition 1.6 there.)

המשחק שווה-מרחק .

Recycled Carpentry