88-534  נושאים באנליזה מרוכבת

הערכות אסימפטוטיות של שורשי המשוואה

  הערכות אסימפטוטיות הן מן הצורה

 (x שייכת לסביבת הנקודה (a

  1 .

  נתבונן במשוואה

                                          f(z) = 0    .....(1)

   כאשר f  הולומורפית בסביבת נקודת  z₀ . ו- z₀ שורש פשוט של פונקציה הזו, זאת

   אומרת  ; f '(z₀) ≠ 0 , f(z₀)= 0  נתבונן במשוואה 

   כאשר די קטן. הבעיה: יודעים ש- שורש של המשוואה (1). איך למצוא 

   שורשי המשוואה (2)?  אי אפשר למצוא אותם בדיוק , אבל אפשר למצוא אותם עם דיוק

   כלשהו.  הוא שורש מבודד,  אז קיימת סביבה K ,כך שב- (סגור של K )

  ישנם אפסים אחרים. אם לכן  |f(z)| > , אז לפי משפט Roushe

  יש למשוואה (2) באיגול K  בדיוק שורש אחד (התוספת  היא קטנה)

   (אם |f| >| |g על  , אז יש ל- f = 0 ו- f + g = 0 אותו מספר שורשים ב- .(D

   במילים אחרות, קיימת פונקציה 

   ההפוכה לפונקציה (2).  כמו באנליזה ממשית אפשר להוכיח שאם פונקציה הנתונה גזירה

   ונגזרת שלה לא מתאפסת, אז הפונקציה ההפוכה גם גזירה.  אצלנו ,f '(z₀) ≠0

   אז גם בסביבת z₀ איזשהי  f '(z)≠ 0 . נבחר הסביבה K כך שמתקיים הזה, אז יש

   לפונקציה (3) נגזרת. לכן היא הולומורפית ומתפרקת לטור טיילור

  ובעיה שלנו למצוא מקדמים c_k. הפונקציה f(z)  נתונה, אז יודעים טור טיילור שלה  

   נציב (4) ל-(5)  ותוצאה ל-(2).

   מן הנוסחה (6) אפשר למצוא כל המקדמים . מקדמים לפני  שווים,

   גם שווים מקדמים לפני  ואנחנו יכולים למצוא מספר מקדמי טור (4)

   כרצננו.  בזה קיבלנו ההערכה אסימפטוטית הכי פשוטה

   דוגמא.

  נתבונן במשוואה

  יש ל-(8) שורש פשוט בנקודה z=0.   נתבונן במשוואה

  לפי (7)   כאשר . |f| > |ε|

  2 .

  יהי z₀  שורש מכפילות n של משוואה (1). שוב בהשתמש במשפט רושה נקבל שבסביבה

   K איזשהי של הנקודה z₀  יש למשוואה ה-(2) בדיוק n שורשים.   צריך לדעת

   לחשב אותם עם דיוק כלשהו. במקרה הזה

  כאשר גם g  הולומורפית בסביבה זו ו- g(z₀)≠0  . פרט לדרישה על ε שצריכה

   למשפט רושה , נדרוש גם כי

   השורש מכפילות n של מספר מרוכב מקבל n ערכים. 

   אפשר להוכיח, שמ-(2)  ו-(9) נובע

  כאשר אגף שמאלי ב-(10)  פונקציה הולומורפית שאצלה z₀

   שורש פשוט.קבלנו n משוואות מן הסוג, שהסתכלנו אליו ב-1.

     במקרה הזה,

  ו-

  שוב נציב ונקבל

  אפשר למצוא מזה כל . במיוחד, אם להשוות מקדמים לפני  בחזקה אחת, אז 

  קיבלנו את הנוסחה אסימפטוטית הראשונה למקרה הזה  

 (אסימפטוטיקה של n  שורשים)

   דוגמא.

   כאן z=0  , אפס מסדר שלישי של הפונקציה באגף הימיני  של (12) , כי

   f '(z)=1-cos z,  f ''(z)=sin z ,  f '''(z)=cos z,

   f(0) =f '(0)= f ''(0)=0,  f '''(0)= 10. 

   לפי הנוסחה (11) מקבלים שלושה פתרונות

   כאן   לפי נוסחת אילר שווה  ל

   באופן דומה  (תעשו באצמכם).

   3.

   לפעמים קורה של- או אין שורשים בכלל או יש אינסוף שורשים. גם במקרה הזה

   אנליזה מרוכבת נותנת אפשרות לחשב את האסימפטוטיקה של שורשים.

   דוגמא 1.

   אין שורשים ל- . ל- מ-(13) נובע

   כאשר = arg . זאת אומרת, יש למשוואה (13) אינסוף שורשים.

   דוגמא  2.

   רואים מן הגרפים של tg x ו- כי למשוואה (14)

   יש מספר אינסופי שורשים ממשיים. 

   נמצא את האסימפטוטיקה שלהם.

   הפונקציות (14) אי זוגיות , אז - גם שורש. נסמן , אז מ-(14) נובע

   פונקציה הולומורפית בראשית, יש לה אפס מסדר ראשון. זאת אומרת קיבלנו משוואה

   מפרק 1.  ונקבל את הפתרון לפי הנוסחה (7).

   מקבלים , במילים אחרות: