פונקציות אנליטיות רב-ערכיות

   מושג על פונקציה אנליטית

   באנליזה מרוכבת לעתים קרובות פוגשים פונקציות רב-ערכיות. ניתן כמה הגדרות

   הגדרה 1 . (ההמשך האנליטי לפי שרשרת התחומים)

  

   הוא גם תחום.  תהי fi(z)  פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום Di בהתאמה, כך שלכל

   , אז הפונקציה נקראת ההמשך האנליטי של הפונקציה

   f1(z) לפי שרשרת התחומים הנתונה.

   מסקנה: המשך האנליטי יחיד אם הוא קיים (לפי משפט היחידיות).

   כתוצאה אפשר לקבל פונקציה רב-ערכית. יכול להיות שהחיתוך D1∩Dn לא ריק ואף עובדה

   לא מבטיחה ש-

  

   הגדרה 2 .

   תהי f(z) פונקציה אנליטית בתחום , D

   ותהיינה שרשרות תחומים כאלה שלכל השרשרת

   מתקיים  f  וההמשך האנליטי של D1=D אפשרי לפי

   כל השרשרת. אז קבוצה (או משפחה) שקיבלנו מהמשך אנליטי לפי השרשרות הנתונות 

   (בכל פונקציה ידוע לפי איזו שרשרת ממשיכים אותה) נקראת פונקציה

   רב-ערכית המתאימה לפונקציה .f

   למעשה אפשר לבצע המשך אנליטי לפי שרשרת התחומים בעזרת טורי חזקות.

   אבל הפרוצדורה הזאת קשה . למעשה באנליזה מרוכבת משתמשים בהמשך

   אנליטי לא בעזרת טורי חזקות אלא בעזרת אינטגרל.

 

   הגדרה 3  (המשך אנליטי לפי עקומה )

   פונקציה כלשהי הולומורפית בסביבת הנקודה a נקראת האלמנט fa(z) של פונקציה f(z)

   בנקודה .a יהיו  אלמנט ועקומה רציפה המחברת נקודות a ו- .b נניח שלכל

   האלמנט (z) הנתון וגם נתונה פונקציה רציפה  () על γ כך שהאלמנט (t) מתייקד

   עם הפונקציה (t) כאשר ,אז (z) נקרא המשך אנליטי של האלמנט המקורי

   fa(z) לפי העקומה הנתונה.

  

   אם תחומים של שני אלמנטים נחתכים (חיתוך הזה מכיל חתיכת העקומה), אז המשך

   האנליטי יחיד אם הוא קיים. העקומה  γ קומפקטית ומרוצפת במספר אינסופי של סביבות ,

   שבכל אחת מהן האלמנט נתון.

   בריצוף הזה אפשר למצוא מספר סופי

   של סביבות המרצפות  γ .אז אפשר לקחת

   את ההמשך האנליטי לפי  שרשרת התחומים

   במקום ההמשך האנליטי לפי העקומה וההפך.

   הגדרה 4 .

   יהי fa(z) האלמנט המקורי וכל מיני עקומות יוצאות מן הנקודה a כך שהמשך אנליטי אפשרי

   לפי כל עקומה. קבוצת אלמנטים fb(z) שקיבלנו כהמשך אנליטי לפי עקומה איזשהי ( ידוע

   לכל אלמנט לפי איזו עקומה הוא מוצג והמשך אנליטי ) נקראת הפונקציה האנליטית

   המתאימה לאלמנט המקורי הנתון. 

   הגדרה 5 .

   יהיו האלמנט האנליטי כאשר aD וכל מיני עקומות יוצאות מן הנקודה a כך שכל

   אחת מהן מאוכלת בתחום D והמשך אנליטי של fa(z) אפשרי לפי כל עקומה, אז קבוצת כל

   האלמנטים  שקיבלנו כהמשך אנליטי של האלמנט המקורי הנתון נקראת פונקציה אנליטית

   בתחום .D

                              

   הפונקציה האנליטית ln z

   מאינפי ידוע כי

                                      

   בקטע הפתוח .(0, 2)

   כמו בנוסחה (1)

                                   

   טור החזקות (2)  מתכנס ב-{K = { z : |z-1| < 1

                                                       

 

   נאמר שסכומו ( הפונקציה ההולומורפית ב-K) הוא האלמנט המקורי של לוגריתם ,(ln z)0

   ז''א לוגריתם (ln z)0 הוא המשך האנליטי של ln x  ממשי מקטע פתוח (0, 2) לעיגול .K

   הגדרה.

   הפונקציה האנליטית המתאימה לאלמנט המקורי (ln z)0 נקראת הפונקציה רב-ערכית .ln z

   נוח לבצע את ההמשך האנליתי הזה לפי עקומות. באינפי ידוע כי :

                                      

   הנוסחה (3)  נכונה לכל קטע בקרן החיובית של הציר הממשי y בפרט בקטע הפתוח  (2, 0).

   נגדיר בעיגול K את  הפונקציה ההולומורפית הבאה

                                      

   למעשה באגף השמאלי של (4) יש פונקציה קדומה של הפונקציה 1/z.1/z היא הולומורפית

   בעיגול. K העיגול הוא תחום פשוט קשר, אז לפונקציה 1/z יש פונקציה קדומה הולומורפית,

   קיימת ב-K . ובכן האגף השמאלי של (4) הוא פונקציה ההולומורפית בעיגול K שמתלכדת

   על הקטע הפתוח (0, 2) של הציר הממשי, עם לוגריתם לפי (3), אז הנוסחה (4) מגדירה

   בדיוק אותה פונקציה ההולומורפית  ב- K שנוסחה (2) מגדירה. עתה נגדיר את ההמשך

   האנליטי שלה לפי עקומה כלשהי היוצאת מנקודת ה-1  ( לא עוברת דרך 0 ) ונניח :

                                      

                                              ( על γ)

   נתבונן בתחונות של לוגריתם (5).                    

   התחונות הבאות של לוגריתם כבר למדנו בשנה שעברה, אז נזכיר אותן בלי הוכחות.

   10. ln z = ln|z| + i∆γarg z

   תהי γ עקומה כלשהי המחברת נקודות 1 ו-z≠0, לא עוברת דרך 0. אז כאשר

   ∆γ arg z  תוספת  של  arg z  על עקומה  .γ

   דוגמאות.

             

                       

                       

   באופן דומה נקבל

   20. ln z = ln z0 +  ln |z/z0|+ i ∆γ ' arg z

   כאשר γ ' היא חלק של העקומה γ המחבר z0 ו- .z

                                                  

   דוגמא.

   ניקח אלמנט של לוגריתם כך שבנקודה i הוא שווה (π(5/2 ונמשיך אנליטית לפי קטע

   המחבר i ו- 2 בציר הממשי. אז לפי 20

  

   (לפי כיוון השעון)

   30. ln z הוא הפונקציה האנליטית בתחום .D = {z: 0 < |z| < ∞ }

  

  

   אם מתבוננים בשני אלמנטים של לוגריתם f(z) ו- f1(z) בנקודה , אז בסביבתה

   f(z) = f1(z) + 2kπi

   (אותו k  בכל הסביבה).

   70 . נמשיך אנליטית ln z לפי עקומה סגורה כלשהי המעבירה מסביב 0 פעם אחת נגד כיוון

   השעון. אז ln z מעביר ל- ln z → z + 2πi

   באופן דומה, אם עקומה סגורה כלשהי המעבירה מסביב 0 פעם אחת בכיוון השעון,אז

   ln z → ln z - 2πi.

   הגדרה.

   הנקודה z0 נקראת נקודת הסתעפות הפונקציה האנליטית  f(z)   אם הפונקציה הזאת

   אנליטית בסביבת z0 חוץ מנקודה z0 ולא חד ערכית בה.

   80 . נקודות 0 ו- ∞ הן נקודות הסתעפות של .ln z

   הגדרה .

   נקודת הסתעפות z0 של הפונקציה האנליטית f(z)  נקראת לוגריתמית אם בסביבת

   הניקוב  (המיקבת) שלה קיימת נקודה כך שלפונקציה f(z) יש מספר אינסופי

   אלמנטים שונים. מפה נובע.

   90. נקודות 0  ו- ∞ הן נקודות הסתעפות לוגריתמיות של הפונקציה .ln z

   הערה. אל תבלבלו את הביטויים אלמנטים השונים בנקודה וערכים שונים בנקודה.

   דוגמא.

   (z–2)ln z בנקודה 2 . האלמנטים שונים,

   אבל הערכים לא שונים.

   ln z1z2 = ln z1 +  ln z2 . 100

   הגדרה.

   כל אלמנט של פונקציה רב-ערכית f(z)  המוגדרת בתחום כלשהו נקרא הענף החד-ערכי

   ההולומורפי או פשוט הענף החד-ערכי.