שיטת נקודת-אוכף. Saddle Point Method

   נחשב את האסימפטוטיקה של אינטגרלים מן הצורה

   כאשר (f(z ו-(s(z  פונקציות הולומורפיות בתחום D איזשהו ו-γ היא עקומה בתחום הזה

   דיפרנציאבילית בקטעים. המשמעות של שיטת נקודת אוכף היא בזה שצריך לעשות

   דפורמציה נכונה של מסילה   γ  למסילה איזשהי

   באותם ראשית וקצה, לפי משפט קושי האינטגרלים במסילות האלה מתלכדים,

   אז הבעיה היא למצוא מסילה , כך שניתן לחשב את האסימפטוטיקה של האינטגרל בקלות.

   נתבונן ב-

   מקובל בנקודה איזשהי z₀,  בנקודות אחרות החלק הממשי של  (s(z ממש קטן ממנו. 

   אז כאשר   האסימפטוטיקה של האינטגרל תוגדר על ידי אינטגרל בחתיכה קטנה של

   מסביב  . נסמן את החתיכה הזו  ב-

   פרט לזה נניח שהצלחנו לבחור  , כך שעל העקומה אז, Im s(z)=const

   קיבלנו אינטגרל שאת האסימפטוטיקה שלו ניתן לחשב על ידי שיטת לפלס.

   נסתכל שמן התנאי

   (נגזרת בנקודה הזו מתאפסת בכל כיוון). הנקודה z₀ שבה Re s(z)  מקבל מקסימום על

   המסילה וש-s'(z₀)=0 נקראת נקודת אוכף של האינטגרל (1).

   המסילה החדשה נקראת מסילת נקודת אוכף.  בשיטת נקודת אוכף צריך למצוא מסילת

   נקודת אוכף לאינטגרל (1).

   נתבונן בדוגמא חשובה לעתיד .

   חלק מדומה של s(z) קבוע.                                                                   

   זאת אומרת צירי שיעורים הם בתוך עקומות אלה.

   בוחרים שתי נקודות סופיות בתחום שבו Re s<0 ,

   אז ב-z=0 מקסימום Re s(z) על .

   נתבונן במשוואה .s'(z) = -2z=0  => z₀=0

   נניח שצריך לחשב את האסימפטוטיקה של האינטגרל

   כאשר  γ מסילה. קבלנו .  אסימפטוטיקה של אינטגרל זה מתלכדת עם

   אסימפטוטיקה של האינטגרל .

   לפי שיטת לפלס

   בדוגמא הזו הציר x מקיים כל התנאים ל- . היא נקראת קו המורד התלול ביותר.

   נתבונן ב-.

   פרבולואיד היפרבולי (אוכף). 

   ההטלה על המישור x,y של הקו, אשר יורדת

   מנקודת אוכף הכי מהר היא הציר x,

   אז הוא נקרא קו המורד התלול והשיטה נקראת שיטת נקודת אוכף.

   נסתכל על שני מיקרים של חישוב אסימפטוטי באינטגרל (1).

   1) Re s(z) מקבל מקסימום בקצה הקטע.נניח שבנקודת התחלה a של מסילה  ,γ

   כך ש-a היא לא נקודת אוכף s'(a) ≠0 , אז על ידי אינטגרציה בחלקים כמו בשיטת לפלס

   נקבל את הנוסחה (3)

  הנוסחה (3) שקולה בהתאמה לנוסחה בשיטת לפלס.

   2)(יותר מעניין) קיימת נקודת אוכף z₀  ומסילת נקודת אוכף בהתאמה. 

   נניח ש- z₀ לא בקצה של המסילה אז

   נניח ש- נקודת אוכף זאת נקראת פשוטה, אז

   אנחנו יכולים לבחור סעיף כלשהו  של השורש

   הגענו לדוגמא הקודמת. מקבלים קווים Im s(z)=const  מהדוגמא ההיא על ידי העתקה

   קונפורמית בהחלפת משתנים. הקווים האלה העוברים דרך נקודת אוכף, היו אצלנו צירי

   שיעורים (המישור מורכב בארבע גזרות ובין גזרות שבהן  Re s(z)< Re s(z₀) היתה

   גיזרה אחרת). קיבלנו שקווים Im s(z)=const הם  קווים איזשהם העוברים דרך נקודת

   אוכף ונכתכים בה בזווית , כי העתקה קונפורמית שומרת על זוויות ושוב סביבת

   נקודת אוכף נפרקת לארבע גזרות עקומיות. בשתי הגזרות Re s(z)< Re s(z₀) ואלה

   גם מתחלפות. הקו Im s(z)=const העובר דרך שתי גזרות שלהן ,Re s(z)< Re s(z₀)                 

   מתאים כמסילת נקודת אוכף.נקרא לו קו המורד

  התלול. כמו בדוגמא לעל נקבל

   לא חייבים לדעת הכול על הפונקציה בנקודה הזו, רק ערך הפונקציה וערך הנגזרת השניה.

   הנוסחה (4) כמו בשיטת לפלס, צריך רק להסביר איך לחשב את השורש. מספיק להסביר

   מה הארגומנט של השורש בנוסחה הזו. הוא שווה לזווית בין הכיוון החיובי  של הציר של

   x-ים לבין כיוון המשיק לקו המורד התלול בנקודת אוכף. מפני שרק s ו- s" בנקודת אוכף

   מופיעים בנוסחה הזו ,אז אפשר לברר את הארגומנט בדוגמת האינטרגל הבא

   כאשר a מספר מרוכב כלשהו.

  למעשה, במקרה הזה היא נקודת אוכף, s''(z)=2a זאת אומרת כלשהו.

   כבר הסתכלנו על הדוגמא שבה s(z)=-z² , במקרה הזה קו המורד התלול היה קו ישר.

   נקבל (s(z שלנו בעזרת החלפת משתנים   . המכפלה במספר מרוכב מהווה

   סיבוב ומתיחה, בזה הקו עובר לקו ישר גם כן העובר דרך אפס. בקו המורד התלול

   Im s(z)=0 ו-

                                              (Re s(z)<0     .....   (6

   בכל נקודות פרט לנקודות אוכף שבה Re s(z)=0 ,

    אז l על |Re s(z)|=|s(z)|  ו-,

   אבל במקרה שלנו (6) מתקיימת, אז .Re s(z)=-|s(z)|

  נסמן את הזווית בין הקרן החיובי של ציר ה- x-ים לבין l

   דרך , אז כל נקודה על הקו הישר מן הצורה

   ,

    לכן האינטגרל (5) שווה ל-

    לכן הנוסחה (4) מוצדקת לחלוטין. נתבונן במקרה, שבו נקודת אוכף היא קצה עקומת

   האינטגרציה.  לזה הנוסחה כמו (4) נכונה אם המקדם לפניה

   הערה חשובה.

   כדי להשתמש ב-(4) לא נצטרך לדעת בדיוק את הקו l . לשורש יש הארגומנט או  ,

   אז מספיק לדעת בערך את הכיוון של l בנקודת אוכף, אך לא את הקו עצמו.

   דוגמאות.

  1) נתבונן בפונקציה אירי-פוק

   צריך לחשב את אסימפטוטיקת האינטגרל (7) , כאשר

   נשאר להבין איפה יש נקודת אוכף וקו המורד התלול, זאת אומרת, איפה .Re s(z)<0

   מהציורים (1) ו-(2) נובע

   פה Re s(t) <0       

    ולכן

   קו המורד התלול עובר בערך כך.

   נשאר להשתמש בנוסחה (4). האסימפטוטיקה של

   אינטגרל זה שווה לסכום התרומות מכל נקודת אוכף.

   ; t=-1, s'(-1)=0,s"(t)=2it, s"(-1)=-2i   התרומה שווה

   אז

   2) צריך לחשב את אסימפטוטיקת האינטגרל

   פה נקודת  אוכף z=0 וקו המורד התלול

   לפי הנוסחה (4)

   נשאר להבין איך לחשב את השורש

   3) צריך לחשב את אסימפטוטיקת האיטגרל

   פה קו המורד התלול   (קטע).                

   לפי נוסחה (4)

     נשאר להבין איך לחשב את השורש

   ולבסוף נקבל