שיטת הפזה הסטציונרית

   נתבונן באינטגרל 

   הפונקציה s מקבלת ערכים ממשיים והפונקציה f  יכולה לקבל ערכים מרוכבים.

   (1) נקרא אינטגרל פוריה. כאשר   אינטגרל פוריה יורד וזה לא כמו

   אינטגרל לפלס.

     (לפי נוסחת אוילר)

   יש לקוסינוס ולסינוס יותר אוסצילציות, לכן החלק החיובי מצמצם את החלק

   השלילי יותר תחוב, אז סביר שאינטגרל פוריה שואף לאפס. המקרה הפרטי

   של אינטגרל פוריה 

   הוא התמרת פוריה. ניתן בלי הוכחה את הטענה הבאה מאנליזה :

   למה של רימן-לבג.

   אם , אז (2)←0 כאשר

   אין מה להגיד יותר אם אין ידע נוסף על  .f  הפונקציה s(x) באינטגרל פוריה נקראת הפזה

   (על האינטגרל הזה הסתכלנו בפעם ראשונה בפיזיקה). תהי s'(x₀)=0.

   בנקודות שבהן s'(x)=0  הפזה משתנה לא הרבה. פיזיקאים קראו לנקודות האלה נקודות

   הפזה הסטציונרית.

   1. אין נקודות סטציונריות

   משפט 1.

   הוכחה.

   נעשה ב-(1) אינטגרציה בחלקים

   באינטגרל האחרון אפשר עוד פעם לעשות אינטגרציה בחלקים, אז נקבל את האיבר

   האחרון ב-(3). בהוכחה היה צריך לעשות אינטגרציה בחלקים פעמיים, זאת אומרת

   משפט 1 נכון בתנאי שהפונקציות f ו-s גזירות ברציפות פעמיים.

   2. יש נקודות סטציונריות

   כדי להוכיח משפט בהתאמה נצטרך מספר דוגמאות ולמות.

   דוגמא 1. אינטגרלים של פרנל  

   נתבונן בעקומה הסגורה הבאה ונתבונן בפונקציה ,

   אין נקודות סינגולריות בפנים העקומה,

   אז אינטגרל של הפונקציה על העקומה שווה לאפס. הוא נראה כך

   נשאף ב-(4) ∞→r , נראה שהאיבר השני שואף לאפס, כי

   אז מ-(4) נקבל  (אינטגרל ידוע בתורת ההסתברות)

   חישבנו

   דוגמא 2.

   צריך לחשב את האסימפטוטיקה של האינטגרל (6) כאשר x←∞ . נעשה אינטגרציה

   בחלקים ב-(6)

   למה

    כאשר  מספר ממשי , δ(α )=sgn α.

   על יד נקודה סטציונרית הפונקציה (s(x משתנה לא הרבה, לכן באינטגרל פוריה גם יקרה

   שאיזה חלקים מבטלים חלקים אחרים פחות תחוף, אז האינטגרל הזה, כאשר , 

   שואף לאפס לאט יותר מאשר במקרה שאין נקודות םטציונריות.

   הוכחה.

   נחליף משתנים

   למיקרה הפרטי הנוסחא (8) הוכחה.  (f ≡1, α>0)

   ניקח משני האגפים של (9) את הביטוי הצמוד.

   זאת אומרת (8) נכונה גם במקרה הזה. נתבונן עתה במקרה הכללי

  נשאר להראות שהאינטגרל השני הוא (O(1/λ. מניכים ש-f  דיפרנציאבילית ברציפות פעמיים,

  אז בעזרת הנוסחה של טיילור

   משפט 2.

   תהי x₀ נקודה סטציונרית יחידה ב -[a,b], אז

   הוכחה.

   כמו בשיטת לפלס אפשר להוכיח על ידי החלפת משטנים מתאימה.

  דוגמא.

   פונקצית בסל.

   צריך לחשב את האסימפטוטיקה כאשר  ∞→x  על ידי (10).

   שתי נקודות סטציונריות. מ-(10) נובע

   כאן משתמשים בעובדה שאם יש מספר נקודות סטציונריות , אז האסימפטוטיקה

   של אינטגרל  היא סכום התרומות מכל נקודה  סטציונרית.